Matematikaren Gorazarrea liburu / elkarrizketaren hasieran (Aurkezpena, Aurkibidea eta Sarrera) matematikak filosofian behar lukeen garrantzia azpimarratzen da. Matematika, funtsean, eta, bereziki, Multzoen Teoria, Izateari dagokion berezko aniztasun murriztezina aztertzeko tresna ezin baliagarriagoa da. Ez da ahaztu behar Badiouk Ontologia Matematika gisa ulertzen duela: Matematika, beraz, ez da bakarrik tresna ba, ontologiari buruzko diskurtso erreala eta formala (izatearen zientzia gisa) ere bada.
Matematikak, edo, zehazkiago, aipatu multzoen teoriak, filosofiari infinituari eta hutsuneari buruz arrazionalki pentsatzeko aukera ematen dio, poetikoki edo mistikoki baino.
Gero 1. kapituluan (Matematika gorde behar da) Badiouk matematikaren ohiko bi uste/jarrera oker salatzen ditu: utilitarismoa eta elitismo ‘aristoktratikoa’
Badiourentzat matematika eta logikaren azterketa funtsezkoa da iritzi nagusietatik haratago joateko. Arrazoimendu matematikoaten zorroztasunak eta izaera abstraktuak adimena prestatzen du sinesmen indibidual zein baldintza sozialak gaindituz egia unibertsalen bilatzeko.
Filosofia, ondorioz, ezin da Matematikatik banatu, filosofia garaikideak egin duen bezala, oro har. Filosofia eta Matematika, edo bikote zahar baten istorioa izeneko 2. Kapitulu honetan gehiago argitzen den bezala, Matematikaren eta Filosofiaren arteko batasuna berreskuratu behar da, hori da Badiouk argudiatzen duena.
2. Kapitulu honetan, hain zuzen, Badiouk filosofiaren eta matematikaren arteko harreman historikoa eta kontzeptuala aztertzen du. Badiouk filosofia eta matematika antzinako Grezian elkarrekin sortu zen bikote historiko eta bereizezina gisa ezaugarritzen ditu.
Zentzu horretan, Platon erdi-erdikoa da Badiourentzat. Platonek matematika pentsamendu arrazionalaren forma erabakigarri gisa ikusten baitzuen. Ondorioz, “Platonengana itzultzea” beharrezkoa da filosofiaren objektu egokia berreskuratzeko. Filsosofo handienek, bestalde, beti izan dute pentsamendu matematikoaren eragina.
Matematika, bestalde, unibertsala da, hau da, bereziki lengoaia unibertsala bezainbat zorrotza garatzen du kultura eta hizkuntzetatik bereiztu behar dena.
—- // —- // —
Filosofiaren eta matematikaren artean dauden loturak zehatzago aztertzea gustatuko litzaidake. Lehen gogorarazi diguzu bikote zahar bat dela: Platonek jada idatzia zuen bere Akademiaren frontoian: «Ez dadila inor sartu hemen geometroa ez bada.» Nola azalduko zenuke laguntasun hori?
Matematika eta filosofia jatorritik lotu izan dira, hainbat non filosofo bereziki ezagunen multzo oso batek -Platonekin hasita bai, baina baita Descartes, Spinoza, Kant edo Searle ere- formalki deklaratu izan dute matematikarik egon ez balitz ez zela filosofiarik egongo. Beraz, matematika oso goiz planteatu zen – eta Platonengan modu guztiz esplizituan – filosofia arrazionalaren jaiotzeko aurrebaldintza gisa. Zergatik? Besterik gabe, matematika, hala esaterik badago “bere burua eusteko gauza den” ezagutza prozesu baten adibidea izan delako. Hau da, zerbait frogatu duzunean, ba frogatu duzu eta kitto! Ez du zer ikusirik egia zer den apaiz batek, errege batek edo jainko batek agintzen dizuenean. Apaizak, erregeak edo jainkoak arrazoi dute, apaiza, erregea edo jainkoa direlako. Eta gainera, kontraesanean jartzen badituzu, azkar jakinaraziko dizute… Matematikariarentzat, aldiz, ez da hori batere: bere lankideei eta arerioei agerian jarriko den ezagutza prozesu bat eraikitzera behartuta dago. Eta bere erakustaldia faltsua bada, hala esango zaio.
Matematikak, beraz, oso goiz, antzinako Greziatik, eratu zuen unibertso bat, non “matematikarik gabe filosofiarik ezin” leloak halabeharrezko baldintza osatzen baitu “horri buruz badakitenen” komunitateak egiazkotzat eta frogatuta dauden gauzen baliotze eta onartzeko orduan, eta ez matematikariak bere buruari “matematikari” deitzen dionaren ondoriozko aginte hutsagatik. Matematikaria, aitzitik, lehen aldiz unibertsaltasun bat sartzen duena da, edozein aurresuposizio mitologiko edo erlijiosotik guztiz askatua, eta ipuinaren forma jada hartzen ez duena, frogarena baizik.
Istorioan oinarritutako egia tradizionala, mitologikoa edo errebelazioaren “egia” da. Matematikak kontakizun tradizional guztiak ahultzen ditu: froga azalpen arrazionalaren menpekoa da, guztion aurrean azal daiteke eta printzipioz gezurtagarria da — hainbesteraino, bestalde, non baten baieztapena azken finean faltsua dela erakusten bada, hori baieztatu duenak okerra onartu behar baitu. Zentzu honetan, matematikak pentsamendu demokratikoan ere parte hartzen du, Grezian biak ala biak, demokrazia eta matematika, agertzen baitira aldi berean. Eta, filosofia dela-eta, ondorioz, erlijio-kontakizunak betiere mehatxatuko duen bere autonomia gordetzen gai izateko matematikak euskarri formala eskainiko dio, ekintza intelektualaren eremu mugatu bati zegokiona, dudarik gabe, baina arau guztiz independenteak eta esplizituak dituena, ezagutu nahi dituen ri guztiz irekia. Oinarri-oinarrian froga bat bazen froga izan behar zuen eta kitto. Egia da, hortaz, hasiera-hasieratik lotura bat badagoela matematikaren, demokraziaren (agintari tradizionalen kontrako modernitate politikoaren zentzuan) eta filosofiaren artean.
Historikoki, matematika, beraz, filosofia baino lehen jaio zen?
Historia konplexua eta gaizki dokumentatua da hori. Arpad Szabo zientziaren historialari eta filosofoaren ustea konpartitzen dut: Parmenidesen pentsamendua edo “Eleate” eskola osoarena (Eleako biztanleez osatua zegoelako), Sokratesen eta Platonen aurrekoa, beraz, K.a. V. mendetik aurrerakoa, kontuan hartzen badugu bere metodo matematikoaren aztarna sakonaz ohar gaitezke. Baita absurduaren bidezko arrazoiketekin ere (reductio ad absurdum), nik neuk erabakigarritzat jotzen ditudanak garai honetako matematikak astinduko zuen gogoaren ahalmenarekin lotuta. Izan ere, puntu hau zehatz-mehatz aztertu nuen 1985-1986ko Parménides-i bereziki eskainitako mintegian.
Gutxi gorabehera, absurduaren bidezko arrazoitzearekin enuntziatu eman bat, p, egia dela frogatzea laburtzen da, baina ez bere egia lehendik ezarrita dauden egietatik zuzenean “eraikiz”, aitxitik frogatuz baizik, bere baieztapen kontraesankorra, hau da, p ez den enuntziatua, ez-p, faltsua dela nahitaez. Ondoren, baztertutako hirugarrenaren erdiko printzipioa aplikatzen da: “p kontuan hartuta, ondo eratutako enuntziatua (kontuan hartutako sistemaren arau sintaktikoekin bat datorrena), edo p da egiazkoa, edo, bestela ez-p da egiazkoa. Ez dago hirugarren aukerarik.»
Izugarrizko prozedura da hori, egia bat ezartzen baitu guztiz hipotesi faltsu baten barnean mugitzen den bitartean. Izan ere, nola frogatu ez-p hori faltsua dela? Bada, besterik gabe, egia dela suposatuz eta baieztapen horreratik tiraka jada finkatuta dauden egiei kontraesanean dauden baieztapen-ondorioak ezarriz; alegia: Ez-kontraesanaren printzipioa aplikatuz: ez-p enuntziatu batekin kontraesanean dagoenez, demagun q, zeina egia baita baina bi baieztapen kontraesankor batera ezin direnez, ez-p faltsua izan behar da. Eta p, beraz, egia.
Frogaren bidea harrigarria da: p egia dela finkatu nahi duzu, horretarako zure arrazoiak dituzu (hori da zure hipotesia).
Horretarako, “ez-p egia da” fikzioa sortzen duzu, faltsua izatea espero duzuna! Eta zure itxaropena pizteko, fikzio honetatik ondorioak ateratzen dituzu, logika gupidagabez faltsua dela uste duzun horretara mugituz, aldez aurretik egia dela frogatu den baieztapen batekin esplizituki kontraesanean dagoen ondorio batekin topo egin arte. Egiaren eta faltsuaren arteko nabigazio kontrolatu eta arautu hori, nire ustez, sortzen ari diren matematikaren guztiz ezaugarria da, agerian dagoen edozein egiarekin edo bere indarra poetiko bakarra izango lukeen hausturarena. “Tonu” hau Parménides-en aurkitzen dugu. Eta aurkitzen dugu zeren, izatea badela frogatzeko, hori dela lehen egia, lehenik ez-izatea ez dela ezartzen duelako. Absurduaren bidez arrazoitzen du, beraz. Nire ondorioa argia da: filosofia arrazionala eta matematika aldi berean jaio ziren, eta ezin zen bestela izan.
Greziarren ostean, filosofo klasikoek ere beti izan zutela matematika erdigunean gogoratzen diguzu. Matematikaren eragin hori benetakoa al da filosofoen pentsamendu sistemetan?
Interesgarria da matematikaren garrantzia azaltzeko filosofoek beraiek ematen dituzten arrazoiak kontuan hartzea.
Demagun filosofia modernoaren sortzailea, Descartes. Oroitarazi nahi dut matematikari handia dela. Bere betebehar filosofikoaren aldetik matematikatik gordetzen duena argi dago: demostrazioaren ideala. Descartesentzat, testu filosofikoak matematikaren ezaugarria osatzen duten “arrazoi kate luzeen” forma hartu behar du. Baina absurduaren bidez saihesbidea erabiltzen duela ere esan dezakegu. Izan ere, zerbaiten existentzia frogatzeko, kanpoko munduaren existentzia, ez du zuzen-zuzenean egiten, baina zalantza “erabateko” baten fikzioa sortzen du, zalantza “hiperboliko” batena, egia ororen eta esperientzia ororen ezereza baieztatzea litzatekeena. Eta orduan ohartzen da zalantzan jartzea bera ezin dela zalantzan jarri. Cogito famatua da, zalantza den ezeztapen absolutua ezeztatuz egiaren “puntu” bat ezartzen duena (“ni existitzen naiz”).
Gainera, Jainkoaren existentzia frogatzeko, esplizituki hainbat froga proposatuko ditu, oraingoan, orokorrean, eraikitzaileak.
Esate baterako, infinituaren ideia dudala ziurtatzeak, nahiz eta ni neu finitua izan, ideia hori nigan sortu duen izaki infinitu baten beharrezko existentzia eskatzen du. Frogaren xehetasuna konplexuagoa da, “matematikoagoa”, laburbilduz… Matematika, Descartesen, nonahikoa da, pentsamendu arrazionalaren paradigma gisa.
Har dezagun Spinoza, oraindik XVII. mendean. Matematikagatik izan ez balitz gizakia ezjakintasunean geratuko litzatekeela esanez hasten du Etika, batez ere den-dena “azken kausen”, mitologien, naturaz gaindiko botereen ekintzak azaltzen jarraituko zuelako.
Spinozak berak, beraz, bere etika, zentzu jakin batean, matematikaren existentziaren ondorio posible bat den ideian kokatzen du. Matematikaren funtsezko eginkizuna, beretzat, azken kausen bidez azalpenak desprestigiatu izana da, aristoteliar tradizioan oraindik hain garrantzitsua den arlo filosofikoko finaltasuna debekatu izana eta sekuentzia deduktiboei eustea. Spinozak, hain zuzen ere Platonek egiten duen bezala, hiru ezagutza mota bereizten ditu: lehenengoa errepresentazio sentikorren eta irudimenaren nahasketa da, ezjakintasun arrunta deitu genezakeena. Bigarrena ezagutza kontzeptual ordenatua da, puntuz puntuko erakustaldia, eta honen paradigma matematika da. Hirugarren mota Jainkoaren asistentzia intuitiboa da, Naturaren edo Osotasunaren izena dena, eta ezagutza filosofikoari berez dagokiona.
Baina Spinozak argi dio bigarren generoa sartu gabe ezin dela hirugarrena lortu. Eta, gainera, bere liburua bere garaiko matematika tratatuak ziren bezalaxe antolatzen du, Euklidesen Elementuen ereduan: definizioak, postulatuak, proposizioak… Filosofia, horrela, geometrikoago edo modu geometrikoan aurkezten da, filosofiaren eta matematikaren artean dagoen intimitatea erakusten duena.
Mende bat geroago, zer esan zuen Kantek matematikari buruz? Arrazoimen hutsaren kritikarako sarreran, filosofia izateko matematikaren erabateko premia errepikatzen du, eta bereziki, Ilustrazioaren izpirituan fundatu nahi duen filosofia kritikoa. Egiten duen galdera kritikoa: “Nondik dator zientziaren unibertsaltasuna?”, egia esan, ez luke existitzeko arrazoirik izango zientziarik ez balego; eta matematikarik ez balego, ez legoke naturaren zientziarik ere, Newtonek frogatu zuen bezala. Kantentzat, gainera, eta horrek beti hunkitu nau, matematikaren asmakizuna «gizon bakar baten jeinuaren» emaitza zen, bere buruan Thales dena. Kantek, beraz, matematikaren agerpena bera ez dela behar historiko bat erakutsi nahi du, kontingentzia asmatzailea baizik. Matematika ez zen sortu Kantek unibertsaltasun arrazionalaren jatorriari buruzko galdera kritikoa planteatu ahal izateko, kasualitatez sortu zen, egun batean, gizon bakar baten jeinuari esker. Estetika kontingentea den bezala, berdin. Baina kontingentzia honek galdera kritikoaren aukera sortzen du, zeinak betebehar filosofikoa definitzen duen.
Dena den, puntu bat gehitu behar dugu, laster hitz egingo dugun eta mendeetan eztabaidatu izan diren matematikaren bi kontzepzio posibleen arteko elkarreragina aurreikusten duena: errealista (edo platonikoa), matematikaren objektua gugandik kanpo dagoela dioena, eta formalista, matematika sorrera hutsa dela dioena, eta bereziki hizkuntza-sorkuntza formal batena. Kantek matematikari buruz duen ikuskera “apriorikoa” da, hau da, pentsamendu matematikoaren antolaketa ez dator esperientzia konkretutik, baizik eta horren aurrekoa da, esperientziari dagokionez a priori existitzen baita, eta ez a posteriori. Laburbilduz, Kantek dio zientzia formaletan jokoan dagoena -eta baita, baina hori beste kontu bat da, zientzia esperimentaletan- giza ezagutzaren antolamendu subjektiboari dagokiola, berak subjektu transzendentala deitzen duenarena. Arrazionaltasuna unibertsala bada, Kantentzat ez da benetako zerbaiti eragiten diolako, unibertsala da subjektibotasun kognitiboaren beraren egitura unibertsal bati erreferentzia egiten diolako.
Demostrazio matematikoan denak ados badaude, ez da gauza edo munduaren erreala berez ukitzen duen ezer aipatzen duelako, giza egitura intelektualak paradigma berezi bati men egiten diolako baizik, batentzat erakustaldia izango dena bestearentzat ere erakustaldia izango baita. Uste dut tesi formalistaren bertsio sofistikatua dela. Geroago, Wittgesteinentzat, matematika hizkuntza-joko bat baino ez da izango, zalantzarik gabe absolutizatu behar ez dena. Kantek ez luke hori esango, berarentzat matematika benetan unibertsala eta ukaezina baita gurea bezalako adimenentzat.
Hala ere, formalismo bat da, dena den, formalismo transzendentala: matematika ez da unibertsala izate gisa egitura formaletan pentsatzen duelako, guztiontzat modu berean kodetutako hizkuntza delako baizik. Dena den, Kantentzat Descartesentzat edo Spinozarentzat, matematikak, Thalesek asmatu bezain laster, zientziaren bide infinitua ireki zuen, eta existituko ez balitz -azken finean, gizakia hamarnaka mila urtez existitu izan zen greziarrek geometria eta aritmética erakusgarria asmatu zutenerako-, galdera filosofiko hau ezinezkoa edo erantzunik gabekoa izango litzateke: “nondik dator epaiezinak diren egiazko formula unibertsalak existitzen direla?”
Matematikak filosofiaren aurrean duen lehentasun moduko bat adierazten ari zara?
Puntu honetan bi orientazio baino ez daude eta, niretzat, horietako batek balio du bakarrik. Filosofiaren eta matematikaren arteko oinarrizko harremana begirunezkoa dela uste dut, hala esaterik badago. Zenbait gauza filosofian matematikaren aurrean makurtzennda. Izan ere, filosofia matematikaren aurrean makurtzen ez denean, alde batera uzten du, baztertu egiten du, Wittgensteinen antzera pentsatzen du matematikan ez dagoela ezer giza existentziaren intereskoa denik -hori da gogoan nuen bigarren orientazioa, zeinaren aurka nagoen, guztiz-. Ez dago erdiko neurririk. Jakina, ondo asko dakigu “filosofo berri” bati ez zaiola inolaz ere matematika interesatzen. Iritzi publikoa interesatzen zaio, erlijio musulmana interesatzen zaio, “totalitarismoa” interesatzen zaio, autonomi erkidegoetako hauteskundeak, gauza asko, baina ez matematika. Eta nire iritziz, hori akats bat da. Akatsa da filosofiaren historia handiak poliki-poliki moldatu eta antolatu duen arrazionaltasunaren eskakizunari dagokionez, filosofo ezberdinen ondorioak, baieztapenak eta azken jarrerak edozein direla ere. Matematikarako grina platonikoaren eta Hegelen infinituaren kontzeptu hertsiki matematikoaren kritika gogorraren artean, amildegi bat dago.
Baina Hegelek bere garaiko matematika ezagutzen du, hots, Eulerren lana. Bere Logika-n, ohar sakon bat eskaintzen dio kalkulu diferentzialari. Matematikaren garrantziari buruzko balorazio ezberdinei ez diet berez ezer leporatzen baina axolagabekeriari eta ezjakintasunari bai, nire begietan akats hain larriak baitira, non norberaren burua filosofo deklaratzea debekatzen baitute, baita hitzari “berri” epitetoa erantsiz ere. Eta aipatu begirunezko harreman bat sortzeraino iritsi nintzen, filosofiak ezin duelako matematika ustekabean topatu, ezta adostutako kapitulu epistemologiko baten antzera ere. Filosofiak matematika bere hasiera-hasieratik bakarrik atzeman behar du. Izatearen zientzia gisa, matematika funtsezkoa da hasieratik, filosofian sartu bezain pronto. Eskola Platonikoaren maximarekin ados nago etabat, nire erara errepikatzen dudana: «Ez dadila sartu hemen geometra ez dena.» Eta «hemen» ez da eskola bat bakarrik, filosofia bera da.
Gai honetan beste elementu garrantzitsu bat da, hein handi batean, matematikak hizkuntzen berezitasunetik ihes egiten duela. Noski, Txinan matematika irakasten dugunean txinera hitz egiten dugu, baina, azken batean, matematika berez ez dago inongo hizkuntzari lotua. Badago hizkuntza matematiko moduko bat, baina ez da ez frantsesa, ez ingelesa, ez txinera.
Nolabait, beti formalizatu daitekeen hizkuntza hori, arau finkoen arabera zeinu sorta batera murriztuta, hizkuntzatik kanpo dago. Filosofia, berriz, beti kezkatu izan da hizkuntzen aniztasunaren auziaz, bere buruari galdera hau eginez: “Baina zer dio zor nire pentsamenduak singularra den hizkuntza honi? Hizkuntza baten singulartasunak ez al du esan nahi nire ustez hain unibertsala den hizkera ez dela hainbesteraino? ” Eta ondo dakigu badirela zenbait filosofo ondorengoa baieztatzeraino heldu direnak, alegia: “Bai, baina hizkuntza batzuk badute, izan, berezko izaera unibertsala”. Batzuek alemaniera proposatu dute, beste batzuek –askotan berdinak– grekoa. Nahiko nabarmena da Descartes filosofo bakanetakoa dela esaten auzi hori ez zaiola batere interesatzen eta Arrazoia edozein hizkuntzatan berdin uler daitekeela, baita, berak zehazten duen bezala, «behe bretoieraz» ere.
Baina hizkuntzen auzi hau beti sartzen da jokoan, nahi ala ez. Matematika, aitzitik, hizkuntzaren singulartasuna saihesten duen pentsamendu-prozedura bat da. Zergatik? Bada ama-hizkuntza, edo hizkuntza arrunta, ez delako, berez, matematikaren hizkuntza. Bere azalpenaren hizkuntza da, edo bere ikaskuntzarena, zeina ez baita gauza bera.
Ez pentsa, ordea, filosofiak hizkuntza matematikoa soilik errespetatu, are miretsi, behar duenik uste dudala. Inola ere ez!
Matematika izatearen beraren dimentsiorik formalenari, abstraktuenari, unibertsalki ia hutsenari lotzen edo atxikitzen zaio. Erraza da mantentzea, aurrerago ikusiko dugunez, dagoena aniztasuna dela, multiplizitatea. Beraz, matematika aniztasunak nolabaiteko koherentzia hartzen duten forma ezberdinen teoria orokorra izanik, dagoen izate osoaren teoria da, ez hau edo hura edo bestelakoa denaren zentzuan, izatea bera denaren zentzuan baizik. Hala ere, Izate gisa Izatearekin pentsamenduaren harremana ez da inolaz subjektuek munduarekin duten harremanaren osotasuna, ezta gutxiago ere. Matematika ez da batere udazkeneko hostoaren eta udako zeruaren arteko desberdintasunaren zientzia; esaten duen gauza bakarra da, edonola ere, horiek guztiak aniztasunak direla, multiplizitateak, zerbait komunean duten formak, izatearena, besterik gabe. Eta “komun” horren forma abstraktuak dira matematikak pentsatzen saiatzen duena.
Filosofikoki beharrezkoa den esperientzia da, baina zalantzarik gabe ez da nahikoa. Nire aldetik, bederen, poesia bezainbeste erabiltzen dut. Baina poesia hizkuntzaren beste muturra da.
Poesia hizkuntzan murgiltzen dena baita aurretik izendatzeko gauza ez zena izendatzera behartzeko. Eta horrela poesia ama hizkuntzan murgiltzen da, hizkuntza baten singulartasunean. Baina hizkuntzaren singulartasun horren barruan, izendapen, transposizio, konparazio metaforiko eta abarren eragiketak burutuko ditu, hain zabalera handikoak direnak non azkenean zerbait unibertsala ere ukitzen baitu.
Esan genezake poemak hizkuntzaren singulartasuna bere mugaraino handitzen duela, hizkuntza beratik kanporaino. Matematika, berriz, hasieratik abiatzen da hizkuntzen singulartasunatik kanpo. Bi bide kontrajarri dira, baina biak errealaren, unibertsaltasunaren norabidean.
Baina gaur egun Indian, Frantzian edo Txinan garatutako matematika berdina al da? Benetan iragazgaitzak al dira berezitasun kultural edo linguistikoetara? Izan hori litzateke-eta aipatu duzun unibertsaltasun miresgarriaren berrespena.
Azken finean, bai. Gaur egun benetako Internazionala badago, matematikariena da. Zalantzarik gabe, denek ingelesez hitz egiten dute euren artean, gu denok bezala, baina, batez ere, “matematikaz” hitz egiten dute l-egia esanda, egunen batean, “politika komunista” hitz egitea denok lortu beharko genukeen bezala, ingelesez izanda ere… Egon badaude, nosk, matematika eskolak, edo matematikako “une historikoak”, kolore nazionala dutenak. Gogora dezagun Erdi Aroan Bagdad izan zela pentsamendu matematikoaren hiriburu eztabaidaezina. Eta beste adibide batzuk eman ditzaket, soltean: Monge inguruan, Frantziako Iraultzaren edo Napoleonen garaian, geometria eskola frantses bikain bat zegoen.XIX.mendearen erdi-erdian, Alemania, Riemann, Dedekind eta Cantorrekin, guztiz da distiraharria. Logika matematiko poloniarra, joan den mendeko hogei eta hogeita hamarreko hamarkadaren inguruan, Tarskirekin bereziki, zeharo nabarmena da. Ramanujan apartekoaren ondotik eta gaur arte zenbakien teoriako Indiako eskola harrigarri batez hitz egin dezakegu.
Arlo honetan, are gehiago, Hardytik eta Wilesera, ingelesak ez dira kanpoan geratzen. Beste adibide asko aipa genitzake, errusiera, italiarra, amerikarra, brasildarra, hungariera… Nabari da apurka-apurka matematikak munduko ia eremu guztietan sortzen diren jeinuak agerian uzten dituela. Baina, aldi bakoitzean, beren lana bere unibertsaltasunarekin hartzen da, beren egiaren arabera. Nola azaltzen duzu hori?
Erantzukizuna filosofoena da. Egia esan, matematikariak guztiz absolbitu egiten ditut! Zalantzarik gabe, badaude filosofo batzuk haien artean: esan bezala, iraganean, Descartesetik Poincaréraino, hori ziurra zen, baina gaur egun ere badago horrelakorik. Gehien ezagutzen dudan arloan, multzoen teoria modernoan, esan dezaket, adibidez, Woodin-en meditazioak indar filosofiko ukaezina duela.
Dudarik gabe “multzoen teoria deskribatzailea” deitzen den horretan espezialistarik ikusgarriena izanda, bere zenbaki errealen teoria fin hori “infinitu” hitzaren esanahi ezberdinei buruzko meditazioa da.
Hori bai, matematikariek beti izan dute matematika gau eta egun egiteko eskubidea euren gogobetetze pertsonalagatik, edo beraiek ulertzen duten zazpi lankideei txunditzeko gogobetetzeagatik. Beraz, arazo zail batean murgil daitezke aldi bakoitzean matematika ontologia ala hizkuntza-joko bat den galdetu gabe. Aise barkatzen diet ohiko utzikeria filosofikoa, haien existentzia halako ikerketa tentsiodun, itxuraz eskerrik gabeko edo beldurgarriari eskainiz zerbitzu nabarmena ematen diotelako gizadiari oro har.
Gainera, egia dena esan beharra dago, jende arraroa den matematikari asko dago, subjektibotasun oinazetsu edo bereziekin. Har dezagun adibidez Grigori Perelman, errusiar matematikari garaikide guztiz bikaina, duela mende bat eginiko aieru bat frogatu zuena aditu nagusi ugariren ahaleginei aurre eginez. Bada ermitau bat bezala bizi da basoko kabina batean, neurri handi batean mundutik moztuta dago eta bere ama zaharrarekin bakarrik hitz egiten du eta korporazio osoak gutiziatzen duen Fields dominari uko egiten dio… Mistikoa da, hain zuzen, eta zentzu horretan filosofo espiritualista modukoa, Errusiako tradizioan. Multzoen teoria eta logika matematikoaren bi jeinu sortzailerik handienak, Cantor eta Gödel, oso bereziak ziren. Lehenengoak Aita Santuari idatzi zion infinituari buruz zuen pentsamenduaren ortodoxia egiaztatzeko eta geroago teoria berri bat asmatu zuen, zeinaren arabera Shakespeare ez baitzen Shakespeare. Bigarrena beldur zen lankideek bere txorrotako ura pozoituko ote zuten. Edo Hara hor Évariste Galois bezalako jeinu gaztea, talde aljebraikoaren teoriaren asmatzailea eta, oro har, aljebra modernoaren espiritu eraikitzailea. Pertsonaia txit erromantikoa da, 1830eko “Hiru loriatsuen” izpirituan matxinatzeagatik atxilotua, bere pentsamendu suntsitzaileak kartzelan gau eta egun idazten dituena, eta 1832an, hogei urte zituela, bere lagunik onenari aurretik idazten dionez merezi ez duen neska ergel batengatik duelu batean hiltzen dena. Jakina, izugarrizko jeinuak, Gauss edo Poincaré bezalakoak, akademiko sendoak ere badira, eurena den unibertso sozialean ondo finkatuta dauden pertsona gogoetatsuak. Baina matematikariak guztiz izan daitezke, poetak bezala, pertsonaia anarkista eta erromantikoak, edo kontenplatiboak eta bazterrekoak.
Azken finean, matematikan balio duena asmakizuna delako, lan ziurgabeko gauen ondoren askotan sortzen dena, intuizio kontingente moduko batean. Bada testu famatu bat non Poincarék azaltzen duen astez eta astez izerditan egonda hero arazoa bat-batean argitu zuela autobus baten eskailera zapaldu zuenean. Hori ere matematika da. Zaraten beharrik ez, beraz, haiekin, ez dago eta “matematikari berriak” bezalakorik, noren desira bakarra politika erreakzionario nagusia finkatzea baita.Hori zerbait da jada…
Beraz, filosofoen errua da filosofia eta matematika ezberdintzen badira?
Erabat. Eta ez haien endekapen partzialagatik bakarrik, baizik eta filosofoek momentu jakin batetik -aztertzea merezi duten aitzaki edo arrazoien pean- sinisteari utzi diotelako filosofiak bere baldintzak deitzen ditudan horiek guztiak bere gain hartzeari, lau “genero”tara murrizten ditudan baldintzak, zeinak, niretzat, egiak deitzen ditudanen beste hainbeste forma baitira: zientziak, egia kognitiboak; arteak, egia sentikorrak; politikak, egia kolektiboak; eta maitasunak, egia existentzialak. Gure garaiko filosofo profesional gehienek sinisteari utzi diote -Hegelen garaian argi eta garbi baieztatzen zuen bezala, edo baita Auguste Comte, Searle edo Bachelard-en garaian ere- filosofiak, gutxien-gutxienez, baldintza-sistema oso konplexu honekin ahalik eta harreman erreal bat edukitzea eskatzen duela. Filosofia espezializatu baten ideiak ez zuela zentzurik pentsatzeari utzi zioten, gure filosofo profesionalek. Filosofia honen edo bestearen filosofia izan daitekeela, “objektu” bereziak dituela, Lacanek “Unibertsitateko diskurtsoa” deitzen duenarekin bat dator, eta terminoaren zentzurik okerrenean. Filosofia filosofia da, zientziekin, arteekin, politikarekin eta maitasunekin harreman berezi eta erabateko bat onartzen duena. Beraz, kapitulazio filosofiko serio bat izan zen.
Noiz gertatu zen historikoki kapitulazio hori, matematika eta filosofiaren arteko “banatze” hori?
Nire ustez, aldaketa XIX.mendearen amaieran hasten da, zentzu jakin batean antifilosofikotzat erraz deskribatuko nukeenarekin batera, Nietzsche edo Wittgenstein bezalako izar handiekin, zeinen jenioa aitortzen dudan, baina filosofiaren programa aldatu zutenak Platonetik aurrera berea ez zen norabidea hartuz. Haiek dira, bereziki, filosofiaren izaera osoa eta sistematikoa gure gain hartu behar genuenaren ideia alde batera utzi zutenak. Hortik matematikarekiko axolagabetasuna zabaltzeko aukera. Nire ustez, haustura hau are larriagoa da, XIX. mendearen amaieratik zabaldutako matematika kontzeptu filosofiko funtsezkoenetan gauza asko apurtzen dituen matematika delako, hain justu.
Eman al diguzu adibideren bat?
Infinituaren kontzeptua aipatuko nuke bereziki, bere historia, auziaren egoera garaikidea eta ondorioak. Puntu honetan bakarrik, azken berrogeita hamar urteotan, matematikan berritasun eta sakontasun zinezko ikerketa deigarriak egin dira. Horiei jaramonik egiten badiezu, gertatzen dena da “infinitu” hitza esaten duzunean ez dakizula zertaz ari zaren. Matematikariek kontzeptu hau erabiliz, aurrekaririk gabeko konplexutasun maila batera eraman dute. Infinitu matematikoaren zifra berriei buruzko hirurogeita hamarreko edo laurogeiko hamarkadako zenbait teorema alde batera uzten badituzu, ez du zentzurik infinitu hitza ahoskatzeak, pentsamendu arrazionalaren testuinguruan behintzat.
Era berean, filosofian “logikaz” hitz egiten segitzen dugu, baina logikan gertatzen dena bere etengabeko aisialdi formalaren mailan arretaz begiratu ezean, “logika” hitzaren ulermen eskasa eta faltsua duzu.
Errealitatean, gaur egun, logika, edo hobeto esanda, logikak matematikaren parte bihurtu dira. Honetara berritzuliko gara. Baina argi dago filosofoak ezin duela logika alde batera utzi, edo beraz, gaur egun, logika matematizatua.
Bi adibide hauek erakusten dute filosofia, matematikatik bereizten bada, amildegirantz doala, beharrezkoak zaizkion kontzeptuen kopuru handi bat, ezjakintasunaren efektu soilaren eraginez, zaharkituak bilakatuz.
Berrikusteko, matematikaren eta filosofiaren artean eten bat egon zela esango dut. Haustura horrek arrazoi historikoak ditu: erromantizismo filosofikoa, Hegel-etik hasi eta existentzialismo sartrearra, arrazionaltasun analitiko eta erakusgarritik urrundu da. Eta, Frantziako Iraultzatik, Historiaren kezka berriak mugimenduak, iraultzak, ezezkotasuna baloratu ditu, egia matematikoen sub specie aeternitatis kontenplazio-espezieen kaltetan, finkatu bezain laster betiko bilakatzen direnak. Arrazoi instituzionalak ere bazeuden: diziplinen bereizketa akademikoa gero eta handiagoa, literatura-ikasketak eta ikasketa zientifikoak oso oso bereizitako bi taldetan osatzea. Nolanahi ere, haustura horrek ondorio negargarriak izan zituen filosofiaren beraren ikuspuntutik. Filosofian gaur egungoak dirauten kontzeptuetan, beren existentziaren eta haien eraketa-baldintza errealak alde batera uztea ekarri du, filosofoak matematikariek kontzeptu horiei buruz definitzen eta frogatzen dutenaren atzetik kilometro gutxira daudelarik.
Beldur naiz hori konpontzea prozesu luzea izango da, baina plazer matematikoa zabaltzen hasi behar dugu, batetik, eta, bestetik, metafisika arrazional baten anbizioa berreraikitzen.
